Question

第四题，详细解答过程（怎么判断的）

Answer 1

抛物线开口向下a
0，所以2a+b+c=c>0，第一个对。
抛物线与x轴交于A，B两点关于x=1对称，B点在3左边，所以A点在-1右边，所以当x=-1时，a-b+c<0，第二个对。
抛物线最高点是当x=1时，y=a+b+c是最大值，所以ax^2+bx+c≤a+b+c推得ax^2+bx≤a+b，也就是x(ax+b)≤a+b，所以第三个对。
抛物线与直线的交点D的横坐标小于3，可以推得a<-1，是这样推导的:
联立方程组y=ax^2+bx+c，y=-x+c得
ax^2+bx+c=-x+c→ax^2+(b+1)x=0
→x[ax+(b+1)]=0解得x1=0，这是C点横坐标，还有x2=-(b+1)/a<3，这是D点横坐标
又因为2a+b=0即b=-2a代入上式得(2a-1)/a<3，解不等式2-1/a<3得a<-1，所以第四个也对。
综上所述，正确的有①②③④。

Answer 2

抛物线的对称轴为：x=-b/(2a)
所以：-b/(2a)=1
b=-2a
C点坐标为(0,c)，所以：c>0
所以：2a+b+c=2a-2a+c=c>0，选项(1)正确
设B点的x坐标为xb，显然xb<3，设A点的x坐标为xa

则：xa+xb=2，所以：xa=2-xb>-1
所以：抛物线的x=-1的点在x轴的下方
所以，当x=-1，y=a-b+c<0，选项(2)正确
当x=1时，抛物线在顶点，y=a+b+c=最大值
所以：ax^2+bx+c<=a+b+c
所以：x(ax+b)<=a+b，选项(3)正确
将y=-x+c代入抛物线方程，得D点的x坐标为：-(b+1)/a
所以：-(b+1)/a<3，而a<0
所以：b+1>-3a
-2a+1>-3a
a>-1，选项(4)错误

Answer 3

由已知：a<0，c>0
∵抛物线的对称轴x=-b/2a=1
∴b=-2a
∵a<0
∴b=-2a>0
则2a+b+c=2a-2a+c=c
∵c>0
∴①对

追问

第四个呢，怎么判断

追答

∵对称轴是x=1
∴f(3)=f(-1)，即：x=3与x=-1时的y值相等
由图像：f(3)<0
∴f(-1)=a•(-1)²+b•(-1)+c=a-b+c<0
②对

由图像当x=1时，函数有最大值
∵ax²+bx≤a+b
∴ax²+bx+c≤a+b+c
∵f(1)=a+b+c
∴y≤f(1)，③对

由图像点D是直线与抛物线的交点
则-x+c=ax²+bx+c
∴ax² + (b+1)x=0
x[ax + (b+1)]=0
∴x=0或x=-(b+1)/a
即：xD=-(b+1)/a
∵b=-2a
∴xD=(2a-1)/a=2 - 1/a
∵xD-1
∵a<0
∴a<-1，④对