Question

一道挺简单的高一数学题

设函数f（x）=x＋a/x+b(0<b<a),求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。
也许对大家挺简单的，不过我刚上高中，数学前几周没跟上，有点吃力。希望能给出详尽的解答过程，不一定要标准，只要能看懂就是了，主要想学个方法，谢谢啦！要快啊，急用！

Answer 1

f(x)=(x+a)/(x+b)，
=(x+b+a-b)/(x+b)
=(a-b)/(x+b)+1
函数的定义域为（－∞，-b）∪（-b，＋∞）

∵0<b<a，
∴a-b>0，
由反比例函数的单调性可知，y=k/x，(k>0)在（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，
∴f(x)=(x+a)/(x+b)在（－∞，-b）和（-b，＋∞）上是减函数.

证明：设s，t∈（－∞，-b），且s<t，
则f(s)-f(t)
=[(a-b)/(s+b)+1]-[(a-b)/(t+b)+1]
=(a-b)(t-s)/[(s+b)(t+b)]
∵a>b>0，s<t，s，t∈（－∞，-b）
∴a-b>0，t-s>0，s+b<0，t+b<0，
(a-b)(t-s)/[(s+b)(t+b)]>0，
即f(s)-f(t)>0，
∴f(s)>f(t)，
由减函数定义可知，f(x)=(x+a)/(x+b)在（－∞，-b）上是减函数.
同理可证，f(x)=(x+a)/(x+b)在（-b，＋∞）上也是减函数.