Question

解关于x的不等式[(a+1)x²-1]/(ax+1)>x (a>0)

Answer 1

[(a
+
1)x²
-
1]/(ax
+
1)
>
x

1、当ax
>
-1，即x
>
-1/a时

(a
+
1)x²
-
1
>
ax²
+
x

x²
-
x
-
1
>
0

(x
-
1/2)²
>
5/4

x
>
1/2 +
(1/2)√5
=
(1/2)(1 +
√5)

或

x <
1/2 -
(1/2)√5
=
(1/2)(1 -
√5)

结合限制条件得

-1/a
<
x
<
(1/2)(1 -
√5)

欲使该式成立，则必有

-1/a
< (1/2)(1 -
√5)

a <
(1/2) (1 -
√5) <
0，不满足题目给定的条件a
>
0，舍弃。

2、当ax <
-1，即x <
-1/a时

(a
+
1)x²
-
1 <
ax²
+
x

x²
-
x
-
1 <
0

(x
-
1/2)² <
5/4

x
>
1/2 -
(1/2)√5
=
(1/2)(1 -
√5)

或

x <
1/2 +
(1/2)√5
=
(1/2)(1 +
√5)

结合限制条件得

(1/2)(1 -
√5)
<
x
<
-1/a

欲使该式成立，则必有

-1/a > (1/2)(1 -
√5)

a >
(1/2) (1 -
√5)
>
0，与题目给定的条件有公共区域。所以不等式的解为

(1/2)(1 -
√5)
<
x
<
-1/a

Answer 2

[（a+1）*2-1]/（ax+1）>x
(a>0)
我的做法如下：
①：若（ax+1）>0
→x>-1/a
化简→ax^2+x-(2a+1)<0
→{-1-sqrt(1+4a*(2a+1))}/2a
<
x
<
{-1+sqrt(1+4a*(2a+1))}/2a
开口向上
综上得：
（-1/a）<
x
<
{-1+sqrt(1+4a*(2a+1))}/2a
②若：（ax+1）<0
化简→ax^2+x-(2a+1)>0
开口向下
综上得：x
>
{-1+sqrt(1+4a*(2a+1))}/2a
&
x<{-1-sqrt(1+4a*(2a+1))}/2a
注：sqrt(1+4a*(2a+1))
是对[1+4a*(2a+1)]开根。根号不好打，呵呵

Answer 3

把左边的x移到右边，通分可将不等式化为（x2-x-1）/(ax+1)>0等价于（x2-x-1）*（ax+1）>0,