Question

已知函数f(x)=x(x-a)^2,g(x)=-x^2+(a-1)x+a(其中a为常数),

1。如果函数y=f(x)和y=g(x)有相同的极值点，求a的值
2。设a>0,问是否存在Xo∈（-1.，a/3)，使得f(Xo)>g(Xo),若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
3记函数H(X)=[f(x)-1]*[g(x)-1],若函数y=H(X)有5个不同的零点，求实数a的取值范围

Answer 1

解:
1,因为:f(x)与f(y)有相同的极植点.
所以:f(x)=g(x)
x(x-a)^2=-x^2+(a-1)x+a
x(x-a)^2=-(x-a)(x+1)
x(x-a)=-(x+1)
x^2+(1-a)x+1=0
因为:g(x)=-x^2+(a-1)x+a
x^2前面的系数为-1,
所以:g(x)只有最大值(x=(a-1)/2时,有最大值)

再将x=(a-1)/2代入上面的子可得:
[(a-1)/2]^2+(1-a)*(a-1)/2+1=0
最后解得:a=3 或者 a=-1

2,存在

因为:f(xo)>g(xo)
所以:f(xo)-g(xo)>0
xo^2+(1-a)xo+1>0
因为 -1<xo<a/3
所以 当xo=-1时 即 (-1)^2+(1-a)(-1)+1<=0
因为a>0 解得:a<=-1(不成立)
同理 当xo=a/3时 ,
因为a>0 解得:a<-3(不成立) 或者 a>=3/2

最后可得 a的取值范围为 a>=3/2

3,因为有5个零点
f(x)-1=0
g(x)-1=0