Question

已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)且当x>0时，f(x)>0又f(1)=-2

（1）判断f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)在区间[-3，3]上的最大值
sorry，是
“当x>0时，f(x)>0。又f(1)=-2”

Answer 1

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)，x，y∈R中，
令x=y=0，得f(0)=0，
再令y= -x，由f(0)=0，
得f(x)+f(-x)=0，即f(-x)= -f(x)
∴f(x)为R上的奇函数.

设x1，x2∈R，且x1=x2+△x，（△x>0），
则x1>x2，
由f(x)为R上的奇函数及恒等式可知，
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=f(△x)
∵已知当x>0时，f(x)<0，且△x>0，
∴f(△x)<0，即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2)，
由增减函数的定义可知，f(x)在R上为减函数.

在恒等式f(x+y)=f(x)+f(y)中，由f(1)= -2，
令x=y=1，得f(2)= 2f(1)= -4，
再令x=1，y=2，得f(3)= f(1)+f(2)= -6，
又f(x)为奇函数，∴f(-3)= -f(3)=6.

∵f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在[-3，3]上为减函数，
∴f(x)在[-3，3]上的最大值为f(-3)= 6，最小值为f(3)= -6.

Answer 2

当x>0时，f(x)>0又f(1)=-2 ？ 请把题目写清楚好不好

1、f(0+0)=f(0)+f(0) 可以得到f(0)=0 f(x-x)=f(x)+f(-x) 所以
f(-x)=-f(x) 且此函数的定义域为R 是关于原点对称的 所以为奇函数
2、在 x>0 时 设x1>x2>0 f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)>0
可以得到f(x1)>f(x2) 即此函数在x>0 时 函数为增函数 又 函数为
奇函数 在x<0 时容易得到f(x)<0 且也为增函数 所以 在[-3，3]上最大值为
f(3)=f(2)+f(1)=3f(1) 请带入正确的f(1)值