Question

设三阶矩阵A，满足A^2=E,但A≠±E,试证明:[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0，陈文灯上一道题。关于矩阵的

Answer 1

由A≠±E，得A+E，A-E均不是零矩阵，由A^2=E得(A+E)(
A-E)=O,故A+E，A-E均是奇异的（不可逆的），否则如果A+E可逆，对(A+E)(
A-E)=O两边左乘A+E的逆得
A-E=O，如果A-E可逆，对(A+E)(
A-E)=O两边右乘A-E的逆得
A+E=O，A+E，A-E均不是零矩阵，故R(A-E)，R(A+E)均不等于零，A+E，A-E均不可逆的，故R(A-E)，R(A+E)均不等于3（满秩），又由两n阶矩阵乘积为零矩阵,则两矩阵秩之和不大于n,R(A-E)+R(A+E)≤3,故R(A-E)，R(A+E)不能都是2，故R(A-E)]=1或[R(A+E)=1，于是得[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0。

Answer 2

~~~~~~~~~~|
1
|
|
1
|
A
=
~~~~
|
-1
|
or
|
1
|
~~~~~
|
-1
|
|
-1|
[R(A-E)-1][R(A+E)-1]=0
说明
R(A-E)=1或者R(A+E)=1
你想想E是什么样~
能使A-E或者A+E秩为1的话~只能在2行上是相反数~
而且A^2=E,
说明~A的逆等于A本身
所以就得以上答案~
实在不好意思~
我昨天有点瞌睡~我还以为是什么选择题~你的答案没给齐呢~最后才发现时证明题~
2楼的那个答案是对的~

Answer 3

楼上的讲法存在巨大的逻辑跳跃，可以认为是错的。
合理的步骤是，先利用A^2=E证明A可对角化（因为极小多项式没有重根），特征值是1或-1，然后根据条件得这两个特征值的重数一个是一重的另一个是两重的。
楼上的做法跳过了可对角化的证明而直接考虑相似标准型，事实上A有无穷多种可能。

Answer 4