Question

已知函数f(x)=1/3x^3+x^2+ax

Answer 1

1)
先求导数f(x)'
f(x)'=x^2+2x+a
f(x)'为一个二次函数，且函数开口向上，顶点为-1，当f(x)'=0时，x^2+2x+a=0
x^2+2x+1=1-a
(1-a)>0
x=√(1-a)-1
或x=-√(1-a)-1
所以有二次函数图像可知，当-√(1-a)-1<x<√(1-a)-1时，f(x)‘<0,
f(x)单调递减，
当x<=-√(1-a)-1
或x>=√(1-a)-1
时，f(x)’>=0,f(x)单调递增
2)由(1)讨论可知，函数f(x)的两个极值点分别为x1=-√(1-a)-1
x2=√(1-a)-1
(另x1>x2)
由条件可知，f(x)=0时，有，1/3x^3+x^2+ax=0
若(x1,f(x1)点在x轴上，则把x1=-√(1-a)-1代入
f(x)=0方程中
1/3(-√(1-a)-1)^3+(-√(1-a)-1)^2+a(-√(1-a)-1)=0
1/3(-√(1-a)-1)^2+(-√(1-a)-1)+a=0
-√(1-a)-1<0
-√(1-a)-1=0
(a无解）
即(x1,f(x1))不在x轴上
若(x2,f(x2))在x轴上，则把x2=√(1-a)-1代入f(x)=0方程中
1/3(√(1-a)-1)^3+(√(1-a)-1)^2+a(√(1-a)-1)=0
（1）
若√(1-a)-1=0
则a=0
若√(1-a)-1≠0
则（1）可约分
1/3(√(1-a)-1)^2+(√(1-a)-1)+a=0
-√(1-a)=0
a=1
所以由以上讨论得，a=0,或a=1