Question

如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点。（II）证明：平面ABM垂直平面A1B1

Answer 1

(1)解：因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角，
因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，
而A1B1=1，B1M=根号2
故tan∠MA1B1=根号2，
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为根号2。
(2)证明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，得A1B1⊥BM，　①
由(1)知，B1M=根号2，
又BM=根号2，B1B=2，所以，
从而BM⊥B1M，　②
又A1B1∩B1M=B1，再由①②得BM⊥平面A1B1M，
而BM平面ABM，
因此平面ABM⊥平面A1B1M。