Question

请简要地说明一下函数的微分与求导的关系。

请简要地说明一下函数的微分与求导的关系。

Answer 1

首先看一下微分定义:设函数y=f(x)在点x处导数存在,则此导数f'(x)与自变量Δx的积f'(x)Δx称为函数y=f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x),即:dy=f'(x)Δx
(1)
由上可见,函数的微分有两个特性:
1、它是自变量改变量Δx的线形函数（以f'(x)为系数）；
2、它与函数的改变量之差Δy-dy=αΔx是一个比Δx高阶的无穷小(当Δx→0时),当f'(x)≠0时,它是Δy的主要部分,所以也称微分dy是改变量Δy的线性主部.由此得到一个很有用的近似公式:只要Δx很小,就有Δy≈dy,即
Δy≈f'(x)Δx.
通常,把自变量的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即Δx=dx,于是(1)可写为dy=f'(x)dx
由此可得dy/dx=f'(x),即函数微分与自变量微分之商等于该函数的导数,因此导数也叫微商.
当函数y=f(x)在点x处的微分存在时,也称函数在点x处可微,因此函数的可微和可导是等价的.