Question

请问这个问题如何用数学归纳法证明

请大家帮我看看这个题目如何用数学归纳法证明：

请证明对于任何大于等于1的自然数n,存在一个从集合{1,2} 中的元素构成的n位数，这个n位数必须被2^n 整出。
比如 ：当n=4时，2112就是一个 由集合{1,2}中的元素构成的4位数，并且2112能够被 2^4 即 16 整除。

n=1时很容易证明，假设n=k成立也不难，关键是如何推导n=k+1命题也成立呢？希望大家给出思路，我会追加更多分!谢谢了
当然知道什么是数学归纳法啊，这个是归纳法下的一道题，中等难度的，所以请教一下大家思路。

Answer 1

1> n=1时，2就可以被2^1整除。
2> 假设n=k时，存在这么一个数A，它可以被2^k整除,并且它有k位，每一位都是由1或者2构成。那么我们现在的任务，就是证明存在另外一个数B，它是k+1位的，每一位由1或者2构成，并且可以被2^（k+1）整除。
我们先把A作一个分类，然后分类讨论。第一类是A可以被2^k整除但是不能被2^(k+1)整除；第二类是A不仅可以被2^k整除还能被2^(k+1)整除。注意，这样的分类是完备的，即对于任何满足条件的A，不是可以被归到第一类，就是可以被归到第二类。
对于第一类，我们可以直接在A前面加一个1就能得到满足条件的B。比如说，12可以被4整除，但是不能被8整除，那么直接在12前面加一个1，也就是112，是可以被8整除的。证明如下：因为A可以被2^k整除但不能被2^(k+1)整除，那么可以把A表示为(2^k)*M，其中M是不能被2整除的整数。这样如果在A前面直接加一个1就相当于B=A+10^k=（2^k）*M+(2^k)*(5^k) = (2^k)*(M+5^k),因为M不能被2整除并且5^k也不能被2整除，所以M+5^k可以被2整除。所以B=(2^k)*(M+5^k)可以被2^（k+1）整除。第一类讨论完毕。
而对于第二类，我们则可以直接在A前面加一个2就能得到满足条件的B。比如，112不仅可以被8整除，而且可以被16整除，那么直接在112前面加上一个2，就是2112则可以被16整除。证明如下：如果A可以被2^(k+1)整除，那么可以把A表示为A=2^(k+1)*Q，其中Q是整数。在A前面加上一个2就相当于B=A+2*10^k=2^（k+1）*Q+2*2^k*5^k=2^（k+1）*Q+2^（k+1）*5^k=2^（k+1
）*（Q+5^k），这样的B肯定能被2^(k+1)整除。
所以无论对于怎样的A，我们总能构造出符合条件的B，使得B能2^（k+1）整除。即已经证明如果命题对于n=k成立，则对于n=k+1也成立。

所以，综1>、2>，由数学归纳原理可证明该命题成立。

Answer 2

1> n=1时，2就可以被2^1整除。
2> 假设n=k时，存在这么一个数A，它可以被2^k整除,并且它有k位，每一位都是由1或者2构成。那么我们现在的任务，就是证明存在另外一个数B，它是k+1位的，每一位由1或者2构成，并且可以被2^（k+1）整除。
我们先把A作一个分类，然后分类讨论。第一类是A可以被2^k整除但是不能被2^(k+1)整除；第二类是A不仅可以被2^k整除还能被2^(k+1)整除。注意，这样的分类是完备的，即对于任何满足条件的A，不是可以被归到第一类，就是可以被归到第二类。
对于第一类，我们可以直接在A前面加一个1就能得到满足条件的B。比如说，12可以被4整除，但是不能被8整除，那么直接在12前面加一个1，也就是112，是可以被8整除的。证明如下：因为A可以被2^k整除但不能被2^(k+1)整除，那么可以把A表示为(2^k)*M，其中M是不能被2整除的整数。这样如果在A前面直接加一个1就相当于B=A+10^k=（2^k）*M+(2^k)*(5^k) = (2^k)*(M+5^k),因为M不能被2整除并且5^k也不能被2整除，所以M+5^k可以被2整除。所以B=(2^k)*(M+5^k)可以被2^（k+1）整除。第一类讨论完毕。
而对于第二类，我们则可以直接在A前面加一个2就能得到满足条件的B。比如，112不仅可以被8整除，而且可以被16整除，那么直接在112前面加上一个2，就是2112则可以被16整除。证明如下：如果A可以被2^(k+1)整除，那么可以把A表示为A=2^(k+1)*Q，其中Q是整数。在A前面加上一个2就相当于B=A+2*10^k=2^（k+1）*Q+2*2^k*5^k=2^（k+1）*Q+2^（k+1）*5^k=2^（k+1
）*（Q+5^k），这样的B肯定能被2^(k+1)整除。
所以无论对于怎样的A，我们总能构造出符合条件的B，使得B能2^（k+1）整除。即已经证明如果命题对于n=k成立，则对于n=k+1也成立。