Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,an=sn/n+2(n-1)，求证数列{an}是等差数列，并求其

Answer 1

an=sn/n+2(n-1)得Sn=nan－2n(n－1)，利用an=S(n)－S(n－1)
(n>1)及a1=1，得到：(n－1)an－(n－1)a(n－1)－4(n－1)=0，即an－a(n－1)=4=常数，从而此数列为等差数列，且公差为4，得：an=4n－3。

Answer 2

a[n]=S[n]/n+2(n-1)
na[n]=S[n]+2n(n-1)
(n-1)a[n]=S[n]-a[n]+2n(n-1)=S[n-1]+2n(n-1)
a[n]=S[n-1]/(n-1)+2n
------------(1)
同时因为a[n]=S[n]/n+2(n-1)
有a[n-1]=S[n-1]/(n-1)+2(n-2)
------(2)
(1)-(2)，得
a[n]-a[n-1]=4
所以{an}是等差数列，且公差为4，这样
a[n]=a[1]+4*(n-1)=4n-3

Answer 3

an=sn/n+2(n-1)

sn=nan-2n(n-1)

s（n-1）=(n-1)a[n-1]-2(n-1)(n-2)

当n≥2时两式相减:an=sn-s（n-1）=nan-(n-1)a（n-1）-4(n-1)

整理可得:an-a（[n-1）=4
an是以a1=1,d=4的等差数列

于是:an=1+4(n-1)=4n-3