Question

已知向量a=i-2j+k,b=-i+3j+2k,c=-3i+7j,证明这三个向量共面

Answer 1

a+c=-2i+5j+k，b+c=-4i+10j+2k

2(a+c)=b+c

2a+2c=b+c

b=2a+c

所以共面。

三个向量共面的充要条件：设三个向量是向量a，向量b，向量c，则向量a，向量b，向量c共线的充要条件是：存在两个实数x，y，使得向量a=x向量b+y向量c。（即一个向量可以写成另外两个向量的线性组合。）

基本定理：

1、共线向量定理：

两个空间向量a,b向量（b向量不等于0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb

2、共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by

3、空间向量分解定理：

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。

4、任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

Answer 2

这是投机方法，还有正统方法:

首先我们都希望会有这个关系：a=xb+yc

所以b和c就是基底

所以b和c不能共线

要证它们不共线：

b=-i+3j+2k,c=-3i+7j

如果共线

b=入c

则：-入=-3，3入=7，2入=0

不成立

所以b和c不共线，那么就能当作基底

开始证明：如果a=xb+yc

则有：a=x(-i+3j+2k)+y(-3i+7j)

化简：a=i-2j+k（已知）=i(-x-3y)+j(3x+7y)+k(2x)

然后一一对应：三个方程：1=-x-3y

-2=3x+7y

1=2x

解就行了，方法看似麻烦，但是严谨。祝你数学越来越好