Question

为什么这个傅里叶级数展开还要求(x≠π±2π，π±4π，...)：1+∑(2/n)(-1)^{n+1)sinnx

Answer 1

设f(x)是x²+x经过T=2π周期延拓后的周期函数
这里就要十分注意到傅里叶级数的收敛条件了
因为f(x)是不连续的...这一点请见下图
设所求出的傅里叶级数的和函数是S(x)=a0/2+∑(ancosnπx+bnsinnπx)
那么
S(x0)=f(x0)
,当x0是f(x)的连续点时
S(x0)=[f(x0-)+f(x0+)]/2
,当x0是f(x)的第一类间断点时
由图像,x=π显然属于第二种情况(亲就是错在这里!)
那么S(π)
=
[f(π-)+f(π+)]/2
=
[(π²+π)+(π²-π)]/2
=
π²
而S(π)
=
π²/3+4*∑(1/n²)
进而求出
∑(1/n²)
=
π²/6