Question

求和：S=1+2x+3x²+4x³+····+（nx）的（n-1）次方

Answer 1

s=1+2x+3x^2+...+nx^（n-1）--------(1)
(1)式两边乘x得
xs=x[1+2x+3x^2+...+nx^（n-1）]
=x+2x^2+3x^3…+nx^n
------(2)
相减得到
(1-x)s=1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-x^n
(sn=[a1(1-q)^n]/(1-q)等比数列和公式)
移项得到
s=(1+x+x^2+x^3…+x^(n-1)-x^n)/(1-x)
=[(1-x^n)/(1-x)-x^n]/(1-x)=(1-x^n)/(1-x)^2-x^n/(1-x)
=(1-x^n)/(1-x)^2-x^n(1-x)/(1-x)^2
=[1-x^n(1+1-x)]/(1-x)^2
=[1-x^n(2-x)]/(1-x)^2
因为分母有x-1，所以x≠1，
当x=1的时候
s=1+2+3+4+5+6+……+n=（1+n）n/2