Question

设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值。

设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值。

Answer 1

2x^2-4mx+2m^2+3m-2=0
△=2m^2-2m^2-3m+2>=0,
m<=2/3
x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(2m)^2-2*((2m^2+3m-2)/2)
=4m^2-2m^2-3m+2
=2m^2-3m+2
=2(m-3/4)^2+7/8
所以当m=2/3时有最小值
2(m-3/4)^2+7/8 =2*(2/3-3/4)^2+7/8=1/72+7/8=64/72=8/9

Answer 2

韦达定理求出x1+x2和x1*x2，∴x1²+x2²=(x1+x2)^2-2x1x2 =2(m-3/4)^2+7/8
用△来判定m的范围，m小于等于2/3 带入上式得8/9