Question

已知等边三角形ABC 和点P，设点P到△ABC 三边的AB，AC,BC的距离分别是h1, h2, h3, △ABC的高为h，请你探索

已知等边三角形ABC 和点P，设点P到△ABC 三边的AB，AC,BC的距离分别是h1, h2, h3, △ABC的高为h，请你探索以下问题：（提示：利用面积）

（1）若点p在一边BC上，此时h1, h2 , h3与h 之间有怎样的关系？

（2）若点p在△ABC内，此时h1, h2, h3, 与h 之间有怎样的关系？

（3）若点p在△ABC外，此时h1, h2, h3, 与h之间有怎样的关系？

Answer 1

(1)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个△的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2*a*h1
△PAC=1/2*a*h2
△PBC=1/2*a*h3
△ABC=1/2*a*h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2*a*h1+1/2*a*h2+1/2*a*h3=1/2*a*h;
化简,得:h1+h2+h3=h.

(2)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.
也可以分别讨论点P的具体位置(例如:AB的一侧或AB的延长线上等等),根据△的面积关系,可得出具体的数量关系(例如:h1+h2-h3=h等等)

Answer 2

(2)当P为△ABC内一点时
连接P与各顶点
得△PAB,△PAC,△PBC.
此3个三角形的面积和等于△ABC的面积;

而△PAB=1/2×a×h1
△PAC=1/2×a×h2
△PBC=1/2×a×h3
△ABC=1/2×a×h,
又因S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC,即
1/2×a×h1+1/2×a×h2+1/2×a×h3=1/2×a×h;
化简,得:h1+h2+h3=h.

(3)当P为△ABC外一点时,
方法同上,可得:h1+h2+h3>h.