Question

罗尔中值定理中，f(x)在a,b闭区间连续，在a,b开区间可导，为什么不是闭区间可导？

Answer 1

当然如果改成在闭区间[a,b]内可导，罗尔定理仍然是成立的，但是没有必要。数学中的定理，都是“追求”一种“条件越弱越好”的原则，因为这样的定理有更广的适用范围。举一个初等数学的例子，我们知道”如果x>4，则x>2“，这个命题无疑是正确的，但是在结论x>2不变的前提下，这定理是不够完美的，因为它的条件太强了，可以减弱为x>3（当然还可以继续减弱）。你的问题中条件“f(x)在(a,b)内可导”显然要比“f(x)在[a,b]上可导”要弱，而确实在条件“f(x)在(a,b)内可导”下，就可以证明罗尔定理，因此根据“条件越弱越好”的原则，自然罗尔定理的条件不会写成“f(x)在[a,b]内可导”