Question

求微分方程的通解 谢谢

Answer 1

y''+9y=0的特征方程是r^2+9=9，r=±3i，方程的通解是y=C1cos3x+C2sin3x。
设原方程的一个y*=x(ax+b)cos3x+x(cx+d)sin3x，代入方程，得
(12cx+2a+6d)cos3x+(-12ax+2c-6b)sin3x=(24x-6)cos3x-2sin3x.
所以，12cx+2a+6d=24x-6，-12ax+2c-6b=-2.
所以，12c=24，2a+6d=-6，-12a=0，2c-6b=-2。
所以，a=0,b=1,c=2,d=-1。
所以，y*=xcos3x+(2x^2-x)sin3x。
所以，原方程的通解是y=C1cos3x+C2sin3x+xcos3x+(2x^2-x)sin3x。