Question

已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC

已知，如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC
1.线段DM与AM又怎样的关系请说明理由

Answer 1

解：（1）AM平分∠DAB．
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC
∴∠1=∠2，MC⊥CD，ME⊥AD，
∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵MC=MB，∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

（2）AM⊥DM，理由如下：
∵∠B=∠C=90°，
∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠1=∠CDA，∠3=DAB（角平分线定义）
∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，
∴∠AMD=90度．即AM⊥DM．

Answer 2

作MN垂直AD交AD与N,因为DM平分角CDA，所以MN=MC(角平分线上的一点到角两边的距离相等），又因为M是BC的中点，所以，CM=MB=MN.所以AM平分角DAB(到角两边距离相等的点再叫的平分线上)

Answer 3

∵∠A+∠D=180º

AM平分∠A,DM平分∠D

∴∠DAM=1/2∠A

∠ADM=1/2∠D

∴∠DAM+ ∠ADM=90º

∴∠AMD=90º

AM⊥DM