Question

lim(x趋近零)[∫(1+t^2) e^(t^2-x^2)d(x)]/x^2 {定积分上限是x^2，下限为0}

Answer 1

用洛必达法则时，需要先把e^(-x^2)提取出来，放到分母上去，然后再分子分母求导（还应该先说明分子的极限为什么是∞，才能用洛必达法则。）
由此原式＝lim(x→∞)
[x^2×e^(x^2)]/[e^(x^2)＋2x^2×e^(x^2)]＝lim(x→∞)
x^2/[1＋2x^2)]＝lim(x→∞)
1/[2＋1/x^2)]＝1/2

Answer 2

先整理分子，将带x的拿到积分外
∫(1+t^2)
e^(t^2-x^2)d(x)=e^(-x^2)∫(1+t^2)
e^(t^2)d(x)
然后用洛必达法则
原式=lim(x趋近零)e^(-x^2)∫(1+t^2)
e^(t^2)d(x)/x^2
=lim(x趋近零)e^(-x^2)*lim∫(1+t^2)
e^(t^2珐触粹吠诔杜达森惮缉)d(x)/x^2
=1*lim(1+x^4)
e^(x^4)/2x
=无穷大