Question

求e的x次方乘以 sinx的积分

Answer 1

∫(e^x)sinxdx=(e^x)[sinx-cosx]/2+C。

∫(e^x)sinxdx

=∫sinxd(e^x)

=sinx(e^x)-∫(e^x)dsinx

=sinx(e^x)-∫(e^x)cosxdx

=sinx(e^x)-∫cosxd(e^x)

=sinx(e^x)-(e^x)cosx+∫e^xdcosx

=sinx(e^x)-(e^x)cosx-∫e^xsinxd

所以∫(e^x)sinxdx=(e^x)[sinx-cosx]/2+C

性质：

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。

主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

Answer 2

分部积分法，这个方法确实是利用乘法导数推导出来的
∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)
=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2