Question

已知a，b为有理数，且根号a和根号b都为无理数，证明根号a+根号b也是无理数

Answer 1

假设√a＋√b为有理数
①a等于b时
√a＋√b=2√a为有理数
根据题意：√a为无理数，2√a也应该无理数，
结论矛盾，假设不成立
②a不等于b时
√a-√b不等于0
√a+√b也不等于0
(√a+√b)(√a-√b)=a+b
因为:a+b是有理数
由假设得√a-√b不能是无理数
则有（√a+√b)+(√a-√b)=2√a为有理数
根据题意：√a为无理数，2√a也应该无理数，
结论矛盾，假设不成立
综上所述，√a+√b为无理数

Answer 2

假设√a＋√b为
有理数

（1）a等于b时
√a＋√b=2√a为有理数
因为:任何一个非零有理数与一个
无理数
之积必是无理数
所以:2√a为无理数
与假设矛盾，假设不成立
（2）a不等于b时
√a-√b不等于0
由已知得√a+√b也不等于0
(√a+√b)(√a-√b)=a+b
因为：两个有理数的和必是有理数
所以：a+b是有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以√a-√b不能是无理数
则有（√a+√b)+(√a-√b)=2√a为有理数
因为:任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数
所以:2√a为无理数，与假设结论矛盾，假设不成立
综上所述，√a+√b为无理数