Question

已知定义在R上的函数f(x)=2^x+a/2^x,a是常数。

(1)如果f(x)=f(-x),求a的值
（2）满足（1）时，判断并证明函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，并猜想在（-∞，0）上的单调性

Answer 1

f(-x)=2^(-x)+a*2^x;
1)f(x)=f(-x),
(a-1)(1-2^(2x))=0,
得到 a=1;
2) f(x)=2^x+1/2^x; 因为 y=2^x 是单增函数
设x2>x1>0, f(x2)-f(x1)=(2^x2-2^x1)[1+1/(2^x1*2^x2)]>0,
得到在[0,+∞)上f(x)为单增函数；
在（敏竖汪-∞，0）上桥仔，由于f(x)=f(-x），f(x)关于y轴对称，
f(x)为单减函数纤枣