Question

若函数Y=F(X)对任意X,Y∈R，恒有F(X+Y)=F(X)+F(Y)

若函数Y=F(X)对任意X,Y∈R，恒有F(X+Y)=F(X)+F(Y)
求证Y=F(X)是奇函数
要过程

Answer 1

设Y=0，又F(X+Y)=F(X)+F(Y)
所以F(X+0)=F(X)+F(0)=F(X)
所以F(0)=0
设Y=-X
所以F〔X+（-X)〕=F(X)+F(-X)=F（0）=0
即F(X)+F(-X)=0
即证。

Answer 2

因为f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
所以f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以-f(x)=f(-x)
所以y=f(x)为奇函数