Question

已知直线 l:y=2x-根号3与椭圆c：x^2/a^2-y^2=1(a>1)交于P Q两点

Answer 1

首先，您打错了，椭圆标准方程的符号应该是加号，这样容易误导人。
1.设计中点的解析几何题目可以考虑点差法。
证：设P(X1,Y1)Q(X2,Y2)先联立直线与椭圆消去y，得
(4+1/a^2)x^2-4√3x+2=0那么由韦达定理得x1+x2=4√3/(4+1/a^2)
同时除以4，就是√3/(4+1/4a^2)，中点横坐标x0=(x1+x2)/2=√3/(2+1/2a^2)<=√3/2.
2.这部分考虑几何思路，A,P,Q在同一个圆上，且PQ为直径，其所对的角PAQ是直角。
因此可以考虑利用向量垂直，即向量PA·QA=0。
解：知A点(a,0),P(X1,Y1)Q(X2,Y2)，向量PA=(x1-a,y1),QA=(x2-a,y2),
向量PA·QA=(x1-a)*(x2-a)+(x2-a)*y1+(x1-a)*y2+y1*y2=0【y之后带入直线用x表示】
即(x1-a)*(x2-a)+(x2-a)*(2*x1-√3)+(x1-a)*(2*x2-√3)+(2*x1-√3)*(2*x2-√3)=0
【该部分请自己化简。到这里考虑利用点差法加韦达定理】
由（1）知x1+x2=4√3/(4+1/a^2),x1*x2=2/(4+1/a^2)，带入上述整理等式可得a=？
【由于计算量较大，结果请自己算出】
有哪一部分不理解可继续提问。