Question

过点（1，-2，1）且与平面2x+2y-3z=0垂直的直线方程是？

Answer 1

与平面2x-y-3z=0,和x+2y-5z=1平行的直线必过它们的交线.设它们的交线的方向向量为（m,n,p),则必与两平面的法向量同时垂直,即向量积为0:2m-n-3p=0且m+2n-5p=0,解得m=11p/5,n=7p/5.所以可取（11,7,5）为它们的交线的方向向量,也就是所求的直线的方向向量,从而所求的直线的点向式方程是
（x-1)/11=(y-1)/7=(z-1)/5.

Answer 2

平面的法向量方向是（2，-2，3）
过点（1，-1，-2）与直线方向可以确定直线。
设直线上一点（x，y，z）
则（x-1）/2=(y+1)/(-2)=(z+2)/3
具体的空间直线的标准形式我不太记得了，如果需要变型为标准形式，你可以对照课本做一下。