Question

导函数 原函数 可积 可导 连续 存在原函数 相互之间的关系

Answer 1

问题一：否，若f(x)存在原函数f(x),那么f'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳跃间断点，必然，f(c
0)≠f(c-0),这就导致f'(c
0)≠f'(c-0)，故f'(c)不存在，与f'(c)=f(c)矛盾。可去间断点f'(c
0)=f'(c-0)，但是显然他们都不等于f'(c)[例如f'(c
0)=f(c
0)≠f(c)],事实上，函数存在第一类间断点，必然没有原函数。
问题二：是。有限个间断点不影响可积性，若存在原函数f‘(x)=f(x),根据函数的性质，可导函数必连续，可知f(x)连续。

Answer 2

①可导与导函数
可导是对定义域内的点而言的；处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导；只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可导。
②可积与原函数
对于不定积分：
[同济五版(上)]给出的定义是：
在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的。
对于定积分：
同济五版对定积分可积有给出两个充分条件
定理1
设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。(因为连续函数的原函数必存在！反之不成立。）
定理2
设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分；
函数在某个区间[a,b]存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在圆函数。
③可导与连续
函数在某处可导那么一定在该处连续；函数在某处连续不一定在该处可导。
④连续与可积
如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积；反之，如果函数在某个区域可积，不能保证函数在该区域连续。比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。