Question

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面 积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面
积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .
问题：如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，
其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么
关系？(不必证明)
变式一：如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三
角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间
的关系并加以证明；
变式二： 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，
其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.

Answer 1

(1)S1= S2+ S3

(2)S1= S2+ S3

边长为a的正三角形的面积=√3/4*a^2,故易证上述相等关系。

(3)所作三角形应满足的条件是：以直角三角形边为底上的高=该直角三角形边的相同倍数（k倍）

S1=1/2*c*kc=1/2kc^2

S2=1/2*b*kb=1/2kb^2

S3=1/2*a*ka=1/2ka^2

由于c^2=a^2+b^2

故S1= S2+ S3

(4)更具有一般意义的结论:若以直角三角形ABC三边向外所作图形的面积等于相应边长平方的相同倍数，则S1= S2+ S3。