Question

BD是等腰RT三角形ABC腰上的中线,AE垂直BD于E,AE延长线交BC于F.求证∠ADB=∠CDF

Answer 1

作CG垂直于BD的延长线于G
易证三角形AED与三角形CGD全等
所以
ED=DG
因为
∠AED
=
90度
=∠BEA
；
∠ADE
=
90度
-
∠BAD
=
∠BAE，
所以三角形AED与三角形BEA相似
所以
ED/AE
=
AE/BE
=
AD/BA
=
AD/AC
=
1/2
所以
ED/BE
=
1/4
所以
BE/BG
=
BE/(BE+ED+DG)
=
BE/(BE+2ED)
=
2/3
因为
AF//CD，所以三角形BEF与三角形BGC相似
所以
BF/BC
=
BE/BG
=
2/3
所以
BF/FC
=
BF/(BC-BF)
=
2/1
因为
AB/DC
=
2/1
=
BF/FC
而
∠ABF
=
∠DCF
=
45度，
所以三角形ABF与三角形DCF相似
所以
∠BAF
=
∠CDF
又因为∠ADB
=
90度
-
∠BAD
=
∠BAF，
所以
∠ADB
=
∠CDF

Answer 2

证明：过a、d分别做bc的垂线，垂足分别为g、h．
设ag=1，那么cg=1，dh=，bh=，
tan∠dbh=，
又∠gaf=∠dbh，∴gf=ag=，
fh=gh-gf=-=，
tan∠fdh==
∴∠dbh=∠fdh
∵∠adb=∠dbh+∠c，
∠cdf═∠fdh+∠cdh，
∴∠adb=∠cdf．