Question

高数无穷级数：(e^n)*n!/n^n为什么是发散的？

Answer 1

是发散的，详情如图所示

Answer 2

因为这里不能取极限，比较后一项和前一项的大小关系，你会发现呈单调递增趋势，这是因为(1+1/n)^n单调增加趋于e的缘故,
故e/(1+1/n)^n>1,
从而一般项极限非零，故发散

Answer 3

这个级数是发散的.
用到不等式(1+1/k)^k
<
e
(这是数列(1+1/n)^n单调性和收敛性的推论),
即(k+1)^(k+1)
<
e·k^k·(k+1).
对k从1到n-1相乘得n^n
<
e^(n-1)·n!,
因此e^n·n!/n^n
>
e,
级数通项不收敛到0.
注:
补充一个结论(stirling公式):
n!
~
(n/e)^n·√(2πn).
虽然一般不能直接使用,
但用于估计n!判断证明方向是非常方便的.
对于本题可以知道通项与√(2πn)等价,
自然不可能收敛.