Question

已知函数f(x)的定义域为R，对于任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)

且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-2,试判断f(x)在[-3，3）上是否有最大值和最小值？ 如果有，求出最大值和最小值，如果没有，说明理由。

Answer 1

令a=0
，b=0
则
f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
令a+b=0
则
f(0)=f(a)+f(-a)
得f(a)=-f(-a)
f（x）为奇函数
令x1>x2>0
则
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0
得f(x1)<f(x2)
当x>0
时
f（x）为减函数
又因为f（x）为奇函数
所以当x∈R时，它都为减函数。当x=-3时取最大值f（-3)=-f(3)=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6
无最小值