Question

已知函数f(x)=e-kx(x2+x-1k)(k＜0)．（Ⅰ）求f（x）的单调区...

已知函数f(x)=e-kx(x2+x-1k)(k＜0)． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数k，使得函数f（x）的极大值等于3e-2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R.f′(x)=-ke-kx(x2+x-
1
k
)+e-kx(2x+1)=e-kx[-kx2+(2-k)x+2]，
即 f'（x）=-e-kx（kx-2）（x+1）（k＜0）．
令f'（x）=0，解得：x=-1或x=
2
k
．
当k=-2时，f'（x）=2e2x（x+1）2≥0，故f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）．…（3分）
当-2＜k＜0时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：
x
(-∞，
2
k
)
2
k
(
2
k
，-1)
-1
（-1，+∞）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，函数f（x）的单调递增区间是(-∞，
2
k
)和（-1，+∞），单调递减区间是(
2
k
，-1)．…（5分）
当k＜-2时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：
x
（-∞，-1）
-1
(-1，
2
k
)
2
k
(
2
k
，+∞)
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以，函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和(
2
k
，+∞)，单调递减区间是(-1，
2
k
)．…（7分）
（Ⅱ）当k=-1时，f（x）的极大值等于3e-2．理由如下：
当k=-2时，f（x）无极大值．
当-2＜k＜0时，f（x）的极大值为f(
2
k
)=e-2(
4
k2
+
1
k
)，…（8分）
令e-2(
4
k2
+
1
k
)=3e-2，即
4
k2
+
1
k
=3，解得 k=-1或k=
4
3
（舍）．…（9分）
当k＜-2时，f（x）的极大值为f(-1)=-
ek
k
．…（10分）
因为 ek＜e-2，0＜-
1
k
＜
1
2
，所以 -
ek
k
＜
1
2
e-2．
因为
1
2
e-2＜3e-2，所以 f（x）的极大值不可能等于3e-2．
综上所述，当k=-1时，f（x）的极大值等于3e-2．…（12分）