Question

一道初三相似三角形的分类讨论题！！

如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=900 ，AC=BC=1,点P在斜边AB上移动（点P不与点A、B重合），以P为顶点作∠CPQ=450 ,射线PQ交BC边与点Q。△CPQ能否是等腰三角形？如果能够，试求出AP的长，如果不能，试简要说明理由。

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Answer 1

解：如图1

1、分析：当P点移动到接近A点时，CP的长度接近CA的长度，而QP的长度接近AB的长度，此时CP＜QP。

当P点移动到接近B点时，CP的长度接近CB的长度，而QP的长度接近0，此时CP＞QP。

因此，在P点从A点向B点移动的过程中，必有一点，使得CP=QP。

所以，△CPQ能是等腰三角形。

2、如图2

PC=PQ，∠CPQ=45°

则∠CQP=∠QCP=(180°-45°)/2=67.5°

而∠BPC=180°-∠QCP-∠B=67.5°

∴∠BPC=∠BCP

∴BC=BP

∴AP=AB-BP=AB-BC=√2-1

3、如图3

当P点移动到AB中点时，QC=QP

此时，AP=√2/2

Answer 2

分类讨论题：

情况一，△CPQ是等腰三角形且CQ=PQ
∠CAB=45=∠QPB AC//PQ ∠CQP=90 ∠CPQ=45 ∠CPB=90
AP=1/根号2=根号2/2 （2分之根号2）

情况二，△CPQ是等腰三角形且PC=PQ
∠PCB=(180-45)/2=67.5
∠CPB=180-∠PCB-∠PBC=180-67.5-45=67.5
∠PCB = ∠CPB PB=PC=1 AB=AC*根号2=根号2
AP=AB-PB=根号2-1

完毕，请验收给我积分吧。