Question

已知函数y=f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y) 且x>0，必有f(x)>0

求证： 1 函数f(x)为奇函数
2 函数f(x)在R上单调递增

还有一题 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在【0，正无穷）上是减函数 ，下列关系正确的是

C f (-2)>f(2) D f(-8)大于等于f(8)

答案是D , 但是为什么要等于？

Answer 1

1、（1）令x=y=0,则f(0)=2f(0),f(0)=0

令x=-y，则f(0)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)=-f(x)，所以奇函数

（2）设x1<x2
x2=x+y,x=x1
则f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)>0
所以f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)

所以增

2、“≥”是大于或等于的含义，加不加都没错！

Answer 2

令x=y=0 f0=2f0 f0=0 y=-x f0=fx+f-x=0 fx=-f-x 所以为奇函数 令x1>x2 f(x1+x2-x2)-fx2=fx1-x2+fx2-fx2=f(x1-x2) x1-x2>0 f(x1-x2)>0所以为增