Question

数学分析里面这定义如何理解？

如图，伍胜健的<数学分析>第一册里的一个定义我不是很理解, 里面的 (3) ∀a∈A, ∀b∈B,都有 a < b; 已经表明了, 无论数集 B 里的数有多小, 数集 A 里都存在一个比 数集 B 小的数; 但是, 下面的分划中, 提到 "(1) B 中存在最小数，此时称 (A|B) 是一个有理分划" ，这是为什么呢，B 中存在最小数，那 a<b 是怎么回事，请各位大神帮忙解答下

Answer 1

注意(A|B)是Q的一个分划，而所谓B中存在最小数，它是在B中最小。如果任取a∈A，a<b是由分划定义决定的。例如令A={x|x∈Q,x<3},B={x|x∈Q，x≥3},则A|B就是一个有理分划。所谓B中存在最小数指的就是3，任取a∈A，显然a<3.

Answer 2

(3)表明A中所有元素都要比B中的元素来得小
(4)表明A的上确界不在A中
OK，如果B中存在最小数，则说明B的下确界在B中，此时称(A|B) 是一个有理分划
例如：A=Q∩(-∞,0)，B=Q∩[0,+∞)
如果B中不存在最小数，则说明B的下确界不在B中，此时称(A|B) 是一个无理分划
例如：A=Q∩(-∞,√2)，B=Q∩(√2,+∞)或B=Q∩[√2,+∞)

Answer 3

(0,1]里面就不存在最小数，因为0不在这个区间内，假设m>0是最小的，那么m/2<m,m/2是最小数且不等于m,所以这样的m不存在，所以不存在最小数。
[0,1]存在最小数0.

追问

你的意思是说 [0,1] 是数集 A， (0,1] 是数集 B 么，基于这个定义 ∀a∈A, ∀b∈B, 都有 a < b

追答

你可能是中文不太好，多读几遍就好了。