Question

sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x,△x→0时,lim(sin△x)/△x=1

f(x)＝sinx 则f'(x)＝cosx 如何推导出f'(x)的?
“当△x→0时候，lim(sin△x)/△x=1,于是(sinx)’=cosx.”

Answer 1

这是一个基本公式.
具体推导就是按定义,然后和角公式展开.
根据定义,有(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x),
其中△x→0,
将sin(x+△x)-sinx展开,就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,
由于△x→0,故cos△x→1,
从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,
于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x,
这里必须用到一个重要的极限,当△x→0时候,lim(sin△x)/△x=1,
于是(sinx)’=cosx.
补充一下：
当△x→0时候,lim(sin△x)/△x=1,
也就是说,当△x→0时候,近似有sin△x=△x,这里你能明白吧,
这是为什么呢.我们来看sinx的定义,它是在直角三角形中对边与斜边的比.当这个角度很小的时候,角度越小是不是可以吧对边理解成一段弧呢,也就是这个角的弧度值.所以啊,角度越小,sinx的值与其弧度值越接近.所以就有了上面的结论.