Question

∑(-1)^n/n^2 用柯西收敛证明敛散性

Answer 1

如果不限制方法,可以直接用Leibniz判别法解决.
所以不妨就按Leibniz判别法的证明来.
对任意ε > 0,存在N = [1/ε]+1 > 1/ε.
当n > N时有n² > n > 1/ε,故1/n² < ε.
考虑∑{n ≤ k ≤ n+p} (-1)^k/k² = (-1)^n·(1/n²-1/(n+1)²+...+(-1)^p/(n+p)²)
若p为偶数,0< (1/n²-1/(n+1)²)+...+(1/(n+p-2)²-1/(n+p-1)²)+1/(n+p)²
= 1/n²-1/(n+1)²+...+(-1)^p/(n+p)²
= 1/n²-(1/(n+1)²-1/(n+2)²)-...-(1/(n+p-1)²-1/(n+p)²)
< 1/n² < ε.
若p为奇数,0 < (1/n²-1/(n+1)²)+...+(1/(n+p-1)²-1/(n+p)²)
= 1/n²-1/(n+1)²+...+(-1)^p/(n+p)²
= 1/n²-(1/(n+1)²-1/(n+2)²)-...-(1/(n+p-2)²-1/(n+p-1)²)-1/(n+p)²
< 1/n² < ε.
即总有|∑{n ≤ k ≤ n+p} (-1)^k/k²| = |1/n²-1/(n+1)²+...+(-1)^p/(n+p)²| < ε.
由Cauchy收敛准则,级数收敛.
上面的证法放缩的比较精细,其实适用于∑{1 ≤ n} (-1)^n/n.
如果不要求这样广的适用面,也可以考虑用Cauchy收敛准则证明绝对收敛,即∑{1 ≤ n} 1/n²收敛.
其部分和0 < ∑{n ≤ k ≤ n+p} 1/k² < ∑{n ≤ k ≤ n+p} 1/(k(k-1))
= ∑{n ≤ k ≤ n+p} (1/(k-1)-1/k)
= 1/(n-1)-1/(n+p)
< 1/(n-1).
当n趋于∞时收敛到0.
由Cauchy收敛准则,∑{1 ≤ n} 1/n²收敛.
∑{1 ≤ n} (-1)^n/n²绝对收敛,从而也是收敛的.
当然也可以不用绝对收敛这一说法,直接说
|∑{n ≤ k ≤ n+p} (-1)^k/k²| ≤ ∑{n ≤ k ≤ n+p} 1/k² < 1/(n-1)收敛到0.
从而∑{1 ≤ n} (-1)^n/n²收敛.