Question

已知函数f(x)=x^2-2x-8，g(x)=2x^2-14x+20，不等式g(x)＜0的解集为A

(1)求A (2)若对一切x∈A，均有f(x)≥(m+2)x-m-15成立，求m的取值范围

Answer 1

(1)2x²-14x+20<0，即x²-7x+10<0，(x-2)(x-5)<0，所以2<x<5，
故A={x|2<x<5}。
(2)f(x)≥(m+2)x-m-15，即x²-2x-8≥(m+2)x-m-15，(x-1)m≤x²-4x+7，
因为x∈(2，5)，所以x-1>0，
因此原不等式等价于m≤(x²-4x+7)/(x-1),
设h(x)=(x²-4x+7)/(x-1)=[(x-1)²-2(x-1)+4]/(x-1)=(x-1)-2+4/(x-1)，
则m≤h(x)在x∈(2，5)上恒成立，即m≤(h(x)的最小值。
又h(x)=(x-1)+4/(x-1)-2≥2√4-2=2，当且仅当x=3时，h(x)有最小值2，
所以m≤2。