Question

已知AB是圆o的直径，弦CD⊥AB于E，F是DC延长线上的一点，FA、FB与圆O分别交于M、G，GE与圆O交于N

（1）求证AB平分∠MAN （2）若圆O的半径为5，FE=2CE=6，求线段AN的长

Answer 1

（1）连接AG，则∠AGF=∠AEF=90°，
∴AF的中点到A、E、G、F四点的距离相等，即A、E、G、F四点在同一个圆上．
∴弦FG所对的圆周角∠FAG=∠FEG．
同理∠EAG=∠EFG
∵∠BGN=∠BFE+∠FEG，而∠MAB=∠FAG+∠BAG，
∴∠MAB=∠NGB．
∵弧BN=弧BN
∴∠NGB=∠NAB，
∴∠MAB=∠NAB．
∴AB平分∠MAN．
（2）连接OC、BM，
∵OC=5，CE=3，
∴在Rt△OEC中得OE=4．
∴AE=9．
在Rt△AEF，EF=6，
∴AF=3√13
∵AB=10，
又∵∠BAM=∠FAE，∠AMB=∠AEF
∴Rt△ABM∽Rt△AFE
∴AM/AE=AB/AF
∴AM=30√13/13
∵AB平分∠MAN，
∴AN=AM=30√13/13