Question

已知函数f(x)=(x-1/x+1)^2(x>1).

若不等式(1-根号x)fˉ1(x)>a(a-根号x)对一切x属于[1/4,1/2]恒成立,求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=[(x-1)/(x+1)]²，(x>1)；若不等式(1-√x)fֿ¹(x)>a(a-√x)对一切x∈[1/4，1/2]恒成立,求
a的取值范围
解：y=[(x-1)/(x+1)]²,定义域：x>1；值域0<y<1.
y(x+1)²=(x-1)²；yx²+2yx+y=x²-2x+1；(y-1)x²+2(y+1)x+y-1=0；
∵x>1，∴x={-2(y+1)-√[4(y+1)²-4(y-1)²]}/[2(y-1)]=[-2(y+1)-4√y]/[2(y-1)]=-(y+2√y+1)/(y-1)
=-(√y+1)²/(√y+1)(√y-1)=-(√y+1)/(√y-1)=(1+√y)/(1-√y)
(0<y<1)
[说明：若根号前取+号，则不能保证x>1]
故fֿ¹(x)=(1+√x)/(1-√x)，(0<x<1)，于是有不等式：
1+√x>a(a-√x)对一切x∈[1/4，1/2]恒成立；
即有a²-1-(a+1)√x<0对一切x∈[1/4，1/2]恒成立；
(a+1)(a-1)-(a+1)√x=(a+1)(a-1-√x)<0
故得-1<a<1+√x=1+√(1/4)=1+1/2=3/2
即-1<a<3/2是a的取值范围。