在直角三角形ABC中角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上.且...
在直角三角形ABC中角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上.且DE垂直于DF,求证以AE,EF,BF为边长的三角形是直角三角形...
在直角三角形ABC中角C等于90度,D是AB的中点,E,F分别在AC和BC上.且DE垂直于DF,求证以AE,EF,BF为边长的三角形是直角三角形
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延长ED至G,使DG=DE,连接GF,GB
因为
DG=DE,DE垂直DF
所以
GF=EF
因为
BD=DA,DG=DE,角BDG=角ADE
所以
三角形BDG全等于三角形ADE
所以
BG=AE,角GBD=角A
因为
角C=90度
所以
角ABC+角A=90度
因为
角GBD=角A
所以
角ABC+角GBD=90度,即角GBF=90度
所以
GF^2=BG^2+BF^2
因为
GF=EF,BG=AE
所以
EF^2=AE^2+BF^2
所以以AE,EF,BF为边长的三角形是直角三角形
因为
DG=DE,DE垂直DF
所以
GF=EF
因为
BD=DA,DG=DE,角BDG=角ADE
所以
三角形BDG全等于三角形ADE
所以
BG=AE,角GBD=角A
因为
角C=90度
所以
角ABC+角A=90度
因为
角GBD=角A
所以
角ABC+角GBD=90度,即角GBF=90度
所以
GF^2=BG^2+BF^2
因为
GF=EF,BG=AE
所以
EF^2=AE^2+BF^2
所以以AE,EF,BF为边长的三角形是直角三角形
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