Question

如图,点D是等边△ABC中BC边上一点,DE⊥AB于E,连接AD,CE相交于点P若∠APE=60°,CD=1，求△ABC的边长

Answer 1

证明：
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠ACB=∠BCE+∠CAP=60°
∵∠APE=∠ACP+∠CAP=60°，
∴∠BCE=∠CAP
∵BC=AC，∠B=∠ACD=60°
∴△ACD≌△BCE
∴BE=CD=1
∵DE⊥AB
∴∠BDE=30°
∴BD=2BE=2
∴BC=BD+CD=2+1=3
即△ABC的边长为3.

Answer 2

主要思路证明D是BC的1/3点.
因为∠APE=60=∠CAP+∠ACP=∠PCD+∠ACP
所以∠CAP=∠PCD △ACD全等于△CBE
所以BE=CD=1 因为∠BDE=30°所以BD=2CD
所以△ABC的边长=3

Answer 3

在△CPD和△ACD中，
∠CDP=∠ADC，
且∠CPD=∠APE=60°=∠ACD
所以∠PCD=∠CAD
又因为∠B=∠ACD=60°
且AC=BC
所以△ACD≌△CBE（角边角）
所以BE=CD=1
设AB=AC=BC=a
则BD=a-1
BE=BD/2=(a-1)/2 =1
解得a=3
即AC的长为3