Question

设正项数列an的前n项和为sn,a1=1/2

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1/2,当n≥2且n∈N*时,
点(S(n-1),Sn)在直线y=2x+1/2上,数列{bn}满足bn=log 1/2*an（n∈N*）
（1）求数列an的通项公式an；
（2）设数列{bn/an}的前n项和为Tn,求Tn
**【数列{bn}= 以1/2为底,an为真数的对数（n∈N*）】

Answer 1

(1)Sn=2S(n-1)+1/2
S(n-1)=2S(n-2)+1/2
两式相减,得an=2a(n-1)
所以an=(1/2)*2^(n-1)=2^(n-2)
(2)bn=log(1/2)an=2-n
计算Tn使用错位相减法
Tn=1/2^(-1)+0/2^0+(-1)/2^1+(-2)/2^2+...+(3-n)/2^(n-3)+(2-n)/2^(n-2)①
1/2Tn=1/2^0+0/2^1+(-1)/2^2+(-2)/2^3+...+(3-n)/2^(n-2)+(2-n)/2^(n-1)②
①-②,得
1/2Tn=1/2^(-1)-1/2^0-1/2^1-1/2^2-...-1/2^(n-2)+(n-2)/2^(n-1)
=2-[2-1/2^(n-2)]+(n-2)/2^(n-1)=n/2^(n-1)
Tn=n/2^(n-2)