Question

已知函数y=f（x）在定义域[-1,1]上是奇函数，也是减函数

已知函数y=f（x）在定义域[-1,1]上是奇函数，也是减函数
1证明对任意x1，x2属于[-1,1]与f(x1)+f(x2)/x1+x2<=0
2若f(1-a)+f(1-a^2)<0，求实数a的取值范围

Answer 1

令-1<=x1<x2<=1
则x1-x2<0
f(x)是减函数则
f(x1)-f(x2)>0
所以[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)<0
即[f(x1)+f(-x2)]/(x1-x2)<0
也即[f(x1)+f(x2)]/(x1x2)<0 （x2代替-x2)

f(1-a)+f(1-a^2)>0
f(1-a)>-f(1-a^2)
f(x)是奇函数所以
f(1-a)>f(a^2-1)
y=f(x)定义在(-1,1)上所以
-1<1-a<1
-1<a^2-1<1
函数为减函数所以
1-a<a^2-1
解得1<a<√2

Answer 2

1、证明：

x2∈[-1,1]，则-x2∈[-1,1]

f(x)是奇函数，则f(x2)=-f(-x2)

不放设x1＞ -x2，则

x1-(-x2)＞0，即x1+x2＞0

f(x)是减函数，则

f(x1)-f(-x2)＜0

即f(x1)+f(x2)＜0

∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0

当等号成立时，f(x1)+f(x2)=0，且x1+x2≠0

f(x1)=-f(x2)

f(x1)=f(-x2)

由于函数是单调的，所以x1=-x2

此时x1+x2=0，矛盾

所以等号不可能成立

也就是说：

对任意x1，x2∈[-1,1],有
成立，

可是这时也可以说证明：

x2∈[-1,1]，则-x2∈[-1,1]

f(x)是奇函数，则f(x2)=-f(-x2)

不放设x1＞ -x2，则

x1-(-x2)＞0，即x1+x2＞0

f(x)是减函数，则

f(x1)-f(-x2)＜0

即f(x1)+f(x2)＜0

∴[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)＜0

当等号成立时，f(x1)+f(x2)=0，且x1+x2≠0

f(x1)=-f(x2)

f(x1)=f(-x2)

由于函数是单调的，所以x1=-x2

此时x1+x2=0，矛盾

所以等号不可能成立

也就是说：

对任意x1，x2∈[-1,1],有
[f(x1)+f(x2)]/(x1+x2)≤0恒成立

得证

2、解：
f(1-a)+f(1-a^2)>0

f(1-a)>-f(1-a^2)

f(x)是奇函数所以

f(1-a)>f(a^2-1)

y=f(x)定义在(-1,1)上所以

-1<1-a<1

-1<a^2-1<1

函数为减函数所以

1-a<a^2-1

解得1<a<√2