Question

求幂级数∞∑n=0 n!x∧n/2n+1的收敛区间和收敛域。

Answer 1

先求收敛半径r=lim(n→∞)
(n+1)/(n+2)=1
然后，
检验x=1，∑(n=0,∞)
(n+1)明显发散
检验x=-1，∑(n=0,∞)
(-1)^n*(n+1)明显发散
因此，收敛域为(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞)
(n+1)*x^n
在(-1,1)内，根据逐项积分：
∫(0,x)
f(t)
dt=∫(0,x)
(∑(n=0,∞)
(n+1)*t^n)
dt=∑(n=0,∞)
(∫(0,x)
(n+1)*t^n)
dt)
=∑(n=0,∞)
(x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根据逐项求导：
[∫(0,x)
f(t)
dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2
因此，∑(n=0,∞)
(n+1)*x^n=1/(1-x)^2，x∈(-1,1)
有不懂欢迎追问

Answer 2

|
(n+1)!x^(n+1)/(2n+3)|/|
n!x∧n/2n+1|=(n+1)|x|(2n+1)/(2n+3)趋于无穷大,故收敛半径R=0,收敛区域为x=0