Question

高中数列问题 急！！

1.｛an｝是首项为1的正项数列，且(n+1)[a(n+1)]^2-n(an)^2+a(n+1)·an=0,则an=？
2.设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x^2-8x+3=0的两根，则a2006+a2007=？

要有详细过程 谢谢！！

Answer 1

(n+1)[a(n+1)]^2-n(an)^2+a(n+1)·an=0,可用十字相乘法化为[a(n+1）+an]·
｛(n+1)[a(n+1)]-n(an)｝=0。又因为是正项数列，所以a(n+1）+an不为0，所以(n+1)[a(n+1)]-n(an)为0，所以a(n+1）／an＝n／n＋1。再用累乘法可得an／a1=1 ／n，又a1（首相）=1，所以an=1／n

第二题
用韦达定理可知a2004+a2005=-8÷-4=2，a2004·a2005=3/4 ，所以经二元一次方程组可解的a2004=3/2，a2005=1/2或a2004=1/2，a2005=3/2，又{an}为公比q>1的等比数列，所以a2004=1/2，a2005=3/2，所以a2006+a2007=(a2004+a2005)·q^2=2·（a2005/a2004）^2=2·9=18

方法思路绝对对，但不知道计算有没有失误，可以检验一下，或对对答案

Answer 2

1. (n+1)[a(n+1)]^2-n(an)^2+a(n+1)·an=0 化简得 [ a(n+1)+an][(n+1)a(n+1)-n an]=0 ｛an｝是首项为1的正项数列 a(n+1)+an>0 则 (n+1)a(n+1)-n an=0 即 (n+1)a(n+1)=n an 所以 n an=(n-1)a(n-1)=(n-2)a(n-2)=---=1 *a1=1 an=1/n

2. 4x^2-8x+3=0 两根为 1/2 3/2 因 q>1 所以a2004=1/2 a2005=3/2 公比 q= a2005/ a2004=3 a2006+a2007=q^2(a2004+a2005)=3^2*(1/2+3/2)=18