Question

判断并证明函数f(x)=x/(x^2+1) 在(1,+∞)上的单调性

我给算进死胡同了= = 我是这么做的 ，任取x1,x2属于 (1，+∞)，x1＜x2 带入化简后是 (x1x2^2+x1-x2x1^2-x2)/[(x1^2+1)(x2^2+1)] 这样可以知道他是减函数，不过我把分子的接着化下去就变成 x1x2(x2-x1)+x1-x2 这样子不就变成负的了吗 现在脑袋已经搞不清楚了。。。高手来 谢谢

Answer 1

f(x1)-f(x2)=
(x1x2^2+x1-x2x1^2-x2)/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
任取x1,x2属于
(1，+∞)，1<x1＜x2
x1x2-1>0,
x2-x1>0,所以
f(x1)-f(x2)=
(x1x2^2+x1-x2x1^2-x2)/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
[x1x2(x2-x1)+x1-x2
]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x1x2-1)(x2-x1)/[(x1^2+1)(x2^2+1)]>0
(怎么能变成负的呢?
是正的!)
于是f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)是单调递减的.
如果学过导数，还可以用导数的符号判断函数的单调性:
f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2<0,
所以函数f(x)在(1,+∞)上是单调递减的.