Question

1.已知关于x的方程(a+c)x的平方+2bx-(c-a)=0的两个解之和为-1...

1.已知关于x的方程(a+c)x的平方+2bx-(c-a)=0的两个解之和为-1,两解之差为1,且a,b,c为三角形ABC三边.(1)求方程的两解.(2)判断三角形ABC的形状. 2.设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x的平方-6x+a=0的两根,当这样的三角形只有一个时,试求a的取值范围.

Answer 1

（1）令(a+c)x²+2bx-(c-a)=0的两个解为x1、x2,根据韦达定理：x1+x2=-2b/(a+c)=-1
x1•x2=(a-c)/(a+c)又：（x1-x2)²=(x1+x2)²-4(a-c)/(a+c)＝(-1)²
即：1-4(a-c)/(a+c)＝1
故：a=c由：x1+x2=-2b/(a+c)=-1
得：b=a+c=2a故：(a+c)x²+2bx-(c-a)=0可以化为：2ax²+4ax=0
故：x1=0
x2=-4因为b=a+c,故a、b、c不能构成△（我估计答案是等腰△）（2）令x²-6x+a=0的两根为t、b,其中t为等腰三角形的腰,根据韦达定理有：t+b=6
bt=a又根据三角形三边的关系有：2t＞b
结合t+b=6（即：b=6-t)得：2t＞6-t故：2＜t＜6又：a=bt=t(6-t)=-(t-3)²+9
且2＜t＜6,结合二次函数的图像可知：在2＜t＜6范围内：当t=3时,a有最大值9；当t=6时,a有最小值0故：0＜a≤9