Question

已知函数f(x)=ex-1 (x>0)13x3+mx2 (x≤0).(Ⅰ)讨论函...

已知函数f(x)=ex-1 (x＞0)13x3+mx2 (x≤0). (Ⅰ)讨论函数f(x)的极值情况; (Ⅱ)设g(x)=ln(x+1)，当x1＞x2＞0时，试比较f(x1-x2)与g(x1-x2)及g(x1)-g(x2)三者的大小;并说明理由.

Answer 1

解答:解:(Ⅰ)当x＞0时，f(x)=ex-1在(0，+∞)单调递增，且f(x)＞0;
当x≤0时，f′(x)=x2+2mx.
(ⅰ)若m=0，f′(x)=x2≥0，f(x)=
1
3
x3在(-∞，0]上单调递增，且f(x)=
1
3
x3≤0.
又f(0)=0，∴f(x)在R上是增函数，无极植;
(ⅱ)若m＜0，f′(x)=x(x+2m)＞0，则f(x)=
1
3
x3+mx2在(-∞，0)单调递增，
同①可知f(x)在R上也是增函数，无极值;(4分)
(ⅲ)若m＞0，f(x)在(-∞，-2m]上单调递增，在(-2m，0)单调递减，
又f(x)在(0，+∞)上递增，故f(x)有极小值f(0)=0，f(x)有极大值f(-2m)=
4
3
m3.(6分)
(Ⅱ)当x＞0时，先比较ex-1与ln(x+1)的大小，
设h(x)=ex-1-ln(x+1)(x＞0)
h′(x)=ex-
1
x+1
＞0恒成立
∴h(x)在(0，+∞)是增函数，h(x)＞h(0)=0
∴ex-1-ln(x+1)＞0即ex-1＞ln(x+1)
也就是f(x)＞g(x)，对任意x＞0成立.
故当x1-x2＞0时，f(x1-x2)＞g(x1-x2)(10分)
再比较g(x1-x2)=ln(x1-x2+1)与g(x1)-g(x2)=ln(x1+1)-ln(x2+1)的大小.
∵g(x1-x2)-[g(x1)-g(x2)]=ln(x1-x2+1)-ln(x1+1)+ln(x2+1)=ln
(x1-x2+1)(x2+1)
x1+1
=ln[1+
x2(x1-x2)
x1+1
]＞0
∴g(x1-x2)＞g(x1)-g(x2)
∴f(x1-x2)＞g(x1-x2)＞g(x1)-g(x2).(12分)