Question

初二全等三角形问题

如图，三角形ABC中，AD是他的角平分线，P是AD上的一点，PE平行于AB交BC于E，PF平行于AC交BC于F。求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等。 （请写出详细的解题过程！！！！O(∩_∩)O谢谢！！！）

Answer 1

证明：
过D点做DM垂直EP，DN垂直PF
因为
PE平行AB
所以
∠BAD=∠EPD
因为
PF平行AC
所以
∠CAD=∠FPD
所以
PD平分∠EPF
在△MPD与△NPD中
∠EPD=∠FPD
{
∠PMD=∠PND
PD=PD
所以
△MPD全等于△NPD
(AAS)
所以
MD=ND

Answer 2

因为PE平行AB，PF平行AC，所以∠EPD=∠BAD，∠FPD=∠CAD,又因为AD平分∠A
所以AD也平分∠EPF,根据定理，角平分线上的点到两边的距离相等，所以D到PE的距离与D到PF的距离相等

Answer 3

过D作DG，DH分别垂直于PE于G，PF于H
AD是ABC的角平分线，PE平行于AB交BC于E，PF平行于AC交BC于F
所以角EPD=角FPD
所以在直角三角形PGD和PHD中，角PDG=角PDH
又因为PD=PD
用角边角证明全等，推出DG=DH

Answer 4

AD是角平分线,PE平行于AB,PF平行于AC
所以PD是三角形PEC的角平分线，∠
EPD=∠
FPD
作DM,DN分别于垂直EP,PF
则有∠
DMP=∠
DNP=90°
∠
EPD=∠
FPD
共边PD，两三角形PMD,PND全等
所以DM=DN,
即D到PE的距离与D到PF的距离相等

Answer 5

做DX⊥PF于X，DY⊥PE于Y。
∵PE∥AB，PF∥AC，且AD是角BAC的角平分线
∴∠XPD=∠YPD
∵∠DXP=∠DYP=90°
∴∠XDP=∠YDP
又∵PD=PD
∴△PXD≌△PYD
∴DX=DY
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等。